Persamaan Kuadrat Part 1: Cara Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Cara Memfaktorkan

Materi SMA

Kali ini kita akan belajar materi persamaan kuadrat, materi ini saya bagi dalam beberapa part, dan masing-masing part saya sediakan pula videonya, jadi bagi yang gak suka baca silakan bisa pelajari videonya. 

Persamaan Kuadrat merupakan materi yang sangat penting dalam matematika, bisa dikatakan salah satu "pondasi" dalam belajar matematika. Karena, saat mengerjakan soal-soal matematika kita akan sering menemukan soal-soal yang membutuhkan proses pemaktoran yang kita pelajari dalam materi persamaan kuadrat.

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Sebelum kita bahas lebih jauh mengenai persamaan kuadrat, mari kita pahami dulu apa itu persamaan kuadrat.

Suatu persamaan dikatakan sebagai persamaan kuadrat jika memenuhi bentuk umum dari persamaan kuadrat, berikut ini bentuk umum persamaan kuadrat:

$$ax^2+bx+c=0$$ 
dengan $a,b,c$ bilangan real dan $a\ne 0$

Bentuk umum persamaan kuadrat di atas disebut juga persamaan kuadrat bentuk real. Dari bentuk umum tersebut diperoleh bentuk-bentuk yang lain, yaitu:

1. Jika $a, b$ dan $c$ bilangan rasional, maka diperoleh persamaan $ax^2+bx+c=0$ yang disebut persamaan kuadrat rasional.
2. Jika $a=1$, maka diperoleh persamaan kuadrat $x^2+bx+c=0$ yang disebut persamaan kuadrat biasa.
3. Jika $b=0$, maka diperoleh persamaan $ax^2+c=0$ yang disebut persamaan kuadrat sempurna. 
4. Jika $c=0$ maka diperoleh persamaan $ax^2+bx=0$ yang disebut persamaan kuadrat tak lengkap.

Mengenal Akar-akar Persamaan Kuadrat

Sebelum kita mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat, sebaiknya kita pahami dulu apa itu akar-akar persamaan kuadrat. Nilai $x=x_1$ merupakan akar persamaan kuadrat jika $x=x_1$ memenuhi persamaan $ax_1^2+bx_1+c=0$.

Contoh 1:
Tentukan apakah $x=2$ merupakan akar dari persamaan kuadrat $x^2-5x+6=0$?

Jawab:
Substitusi $x=2$ ke persamaan $x^2-5x+6=0$
$\begin{align*}2^2-5(2)+6=0\\4-10+6=0\\0=0\end{align*}$

Karena $x=2$ memenuhi persamaan $x^2-5x+6=0$, maka $x=2$ merupakan akar dari persamaan tersebut.

Contoh 2:
Tentukan apakah $x=1$ merupakan akar dari persamaan kuadrat $x^2+4x+4=0$?

Jawab:
Substitusi $x=1$ ke persamaan $x^2+4x+4=0$
$\begin{align*}1^2+4(1)+4=0\\1+4+4=0\\9=0\end{align*}$

Karena $x=1$ tidak memenuhi persamaan kuadrat $x^2+4x+4=0$, maka $x=1$ bukan akar persamaan kuadrat tersebut.

Contoh 3:
Tentukan nilai $k$ jika $x=5$ merupakan salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^2-3x+k=0$.

Jawab:
Karena $x=5$ merupakan salah satu akar persamaan $x^2-3x+k=0$, maka jika $x=5$ kita substitusikan harus lah memenuhi persamaan tersebut.

$\begin{align*}5^2-3(5)+k&=0\\25-15+k&=0\\10+k&=0\\k&=-10\end{align*}$

Jadi, nilai $k$ adalah $-10$.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Setelah kalian memahami apa yang dimaksud dengan akar-akar persamaan kuadrat, sekarang kita akan belajar cara menyelesaikan suatu persamaan kuadrat. Menyelesaikan persamaan kuadrat, artinya mencari akar akar persamaan kuadrat tersebut. Ada beberapa cara menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, diantaranya:

1. Cara memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Rumus Kuadratis/Rumus ABC

Namun pada postingan kali ini, kita hanya akan membahasn cara yang pertama, yaitu menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan.




Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan cara Memfaktorkan

Sebelum kita belajar menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, terlebih dahulu perhatikan perkalian-perkalian bilangan berikut.

$a\times 0=0$, $b\times 0=0$, $0\times 0=0$

dari perkalian tersebut dapat disimpulkan:
$$a\times b=0 \Leftrightarrow\space a=0\space \text{atau}\space b=0$$
Pada dasarnya, menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan memfaktorkan adalah merubah bentuk persamaankuadrat menjadi suatu perkalian, sebagai contoh: persamaan kuadrat $x^2+5x+6=0$ bisa kita ubah menjadi $(x+3)(x+2)=0$.
Bentuk peramaan kuadrat $(x+3)(x+2)=0$ disebut persamaan kuadrat yang terfaktorkan.

Contoh 4:
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $(x+4)(x-3)=0$!

Jawab:
$\begin{align*}(x+4)(x-3)=0&\Leftrightarrow\space x+4=0\space\text{atau}\space x-3=0\\&\Leftrightarrow x=-4 \space\text{atau}\space x=3\end{align*}$

Berikutnya, untuk mempermudah memahami cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, persamaan kuadrat akan saya bagi menjadi dua jenis. Yaitu, persamaan kuadrat yang terdiri atas dua suku dan persamaan kuadrat yang terdiri atas tiga suku. Mari kita bahas satu-persatu:

Persamaan Kuadrat yang Terdiri dari Dua Suku

Jika persamaan terdiri dari dua suku seperti $ax^2+bx=0$ atau $ax^2-c=0$, maka cara memfaktorkannya adalah sebagai berikut:
$$ax^2+bx=0\Leftrightarrow x(ax+b)=0$$
$$x^2-c=0\Leftrightarrow (x-\sqrt{c})(x+\sqrt{c})=0$$
Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 5:
Tentukan akar-akar dari persamaan $2x^2+3x=0$

Jawab:
$2x^2+3x=0\\ \Leftrightarrow x(2x+3)=0$
$x=0$ atau $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$

Contoh 6:
Tentukan akar-akar dari persamaan $x^2-9=0$

Jawab:
$x^2-9=0\\ \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0$
$x=3$ atau $x=-3$

Persamaan Kuadrat yang Terdiri dari Tiga Suku

Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ akan terdiri atas tiga suku jika $a, b$ dan $c$ tidak ada yang bernilai nol. Untuk persamaan kuadrat tiga suku, cara memfaktorkannya adalah sebagai berikut: $$ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow \frac{1}{a}(ax+p)(ax+q)=0$$
Untuk menentukan nilai $p$ dan $q$, cari dua angka yang jika dijumlahkan nilainya sama dengan nilai $b$ atau secara matematis bisa di tulis $p+q=b$. dan jika dikalikan nilainya sama dengan $ac$ atau bisa ditulis $pq=ac$. Perhatikan contoh-contoh berikut ini:

Contoh 7:
Tentukan akar-akar dari persamaan $x^2+8x+15=0$

Jawab:
Cari dua angka jika dijumlahkan nilainya $8$ dan jika dikalikan nilainya $15$, maka kita peroleh $5$ dan $3$, sehingga:
$x^2+8x+15=0\Leftrightarrow(x+5)(x+3)=0$
$x=-5$ atau $x=-3$

Contoh 8:

Tentukan akar-akar dari persamaan $8x^2-6x+1=0$

Jawab:
Cari dua angka yang jika dijumlahkan nilainya sama dengan $-6$ dan jika dikalikan nilainya sama dengan $8\times 1=8$ maka kita peroleh $-4$ dan $-2$, sehingga:
$8x^2-6x+1=0\Leftrightarrow\frac{1}{8}(8x-4)(8x-2)$
$x=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ atau $x=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Demikianlah cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan, jika masih belum jelas, silakan pelajari video pembelajaran berikut:

Via: uambn.web.id

Share this post